第一篇：法院分布

根据最高人民法院《关于同意在东莞市、中山市撤销、设立基层人民法院的批复》（法[2024]187号文），经东莞市第十四届人民代表大会常务委员会第十二次会议审议，2024年1月1日新成立三基法院设置如下：

■东莞市第一人民法院

管辖17个区镇：莞城、东城、南城、万江、道滘、洪梅、望牛墩、麻涌、中堂、高埗、石碣、石排、企石、石龙、茶山、寮步和

松山湖科技园产业区

办公地址：东莞市石龙镇黄洲新城区方正大道中石龙人民法庭审判办公楼（暂定）。邮编：523320。办公室电话:0769-81380993。传真:0769-81380983。东莞市第一人民法院下设：

东城人民法庭（辖区为莞城街道、东城街道）

南城人民法庭（辖区为南城街道、万江街道）

道滘人民法庭（辖区为道滘镇、洪梅镇、望牛墩镇）

麻涌人民法庭（辖区为麻涌镇、中堂镇）

石碣人民法庭（辖区为石碣镇、高埗镇）

石排人民法庭（辖区为石排镇、企石镇）

石龙人民法庭（辖区为石龙镇、茶山镇）

松山湖人民法庭（辖区为寮步镇、松山湖科技产业园区）

■东莞市第二民法院

管辖6个镇：虎门、厚街、沙田、大朗、长安、大岭山

办公地址：东莞市长安镇涌头村107国道莞长路段。邮编：523855。办公室电话:0769-89889288。传真:0769-89889299。

东莞市第二人民法院下设：

虎门人民法庭（辖区为虎门镇）

厚街人民法庭（辖区为厚街镇、沙田镇）

大朗人民法庭（辖区为大朗镇）

大岭山人民法庭（辖区为长安镇、大岭山镇）

■东莞市第三人民法院

管辖10个镇：樟木头、黄江、谢岗、常平、桥头、东坑、塘厦、清溪、凤岗办公地址：东莞市塘厦镇花园新街45号。邮编：523710。办公室电话：0769-89808666。传真:0769-89808777。

东莞市第三人民法院下设：

樟木头人民法庭（辖区为樟木头镇、黄江镇、谢岗镇）

常平人民法庭（辖区为常平镇、桥头镇）

横沥人民法庭（辖区为横沥镇、东坑镇）

清溪人民法庭（辖区为塘厦镇、清溪镇、凤岗镇）

第二篇：寺庙分布

府城县

开元寺（唐）

大中禹迹寺（两晋）延庆院（唐）崇报院（唐）大中祥符寺（唐）圆通妙智寺（宋）永福院（五代后晋）隆教院（宋）景德院（唐）明教院（宋）

旌教院（五代后周）现为杏花寺 长庆院（宋）

善法院（五代后晋）寿昌院（五代后周）广福院（宋）法济院（宋）悟本院（唐）福果院（无考证）大善寺（南朝）报恩光孝禅寺（宋）大能仁禅寺（魏晋）戒珠寺（魏晋）光相寺（五代后汉）能仁院（宋）广教院（唐）妙明院（宋）观音教院（宋）会稽县

泰宁寺（五代后周）淳化寺（东晋）雍熙院（宋）

显圣院（五代后周）广福院（五代后晋）大禹寺（南朝）545 天华院（五代后周）东山寿宁院（宋）宝山证慈院（宋）大中招福院（唐）妙峰寺（唐）福庆寺（魏晋）隆庆院（南朝）资寿院（五代后晋）护圣院（五代后周）广爱院（五代后汉）崇仁院（唐）

资圣院（五代后汉）普济院（五代后唐）福圣院（五代后周）庆恩院（五代后晋）灵峰院（唐）普济院（北宋）净胜院（唐）

渚修院（五代后周）妙智院（五代后晋）净住院（南朝）广教寺（五代后晋）澄心院（唐）华严院（唐）鹫峰院（唐）延安院（北宋）崇胜院（五代后晋）九莲院（北宋）佛果院（宋）

清修院（五代后晋）宝林院（宋）

化城院（五代后周）石佛妙相寺（唐）称心资徳寺（南朝）明觉寺（唐）隆德崇善寺（宋）崇福寺（无从考证）兴福寺（五代后晋）山阴县

天章寺（宋）天衣寺（南朝）

法云寺（无从考证，五代十国）本觉寺（五代后唐）智度寺（五代后唐）云秘寺（南朝）宝寿院（唐）

宝岩院（五代后晋）奉圣院（唐）

延福院（五代后晋）宝寿院（唐）

长寿院（五代后晋）广济院（五代后晋）报恩院（宋）广利院（宋）慈恩院（后唐）延寿院（后唐）等慈院（五代后晋）资教院（五代后晋）庆寿元（宋）集善院（宋）

上方院（五代后晋）香林院（五代后汉）青莲院（唐）报恩院（唐）华藏院（唐）

安康院（五代后唐）福安院（五代后唐）保安院（五代后唐）安隐院（隋）崇教院（南朝）普香教院（北宋）鹫台院（五代后晋）资寿院（五代后晋）明因院（五代后晋）寿星院（五代后唐）永兴院（五代后晋）崇福院（宋）

兴教院（五代后晋）兴教院（五代后晋）惠悟院（五代后周）显慈资庆禅院（宋）广福院（宋）灵秘院（宋）龙兴寺（宋）大庆尼寺（西晋）嵊县

惠安寺（东晋）宣妙寺（南朝）安福寺（南朝）上鹿苑寺（南朝）下鹿苑寺（南朝）明觉寺（南朝）

禅惠寺（北魏，公元500年）福感寺（五代后晋）实性寺（唐）

宝积寺（五代后唐）龙藏寺（南朝503）普惠寺（后晋）普安院（南朝）戒德院（后晋）定林院（南朝）圆超院（五代后晋）真如院（五代后周）尊胜院（南朝）天竺院（五代后晋）灵岩院（唐）法祥院（南朝）超化院（五代后晋）瑞像院（唐）法华院（唐）南岩廨院（唐）清隐院（唐）

大明院（五代后晋）证道院（五代后晋）华藏院（五代后晋）黄觉院（五代后汉）显净院（南朝）报恩院（唐）

资福院（五代后晋）空相院（宋）

悟空院（五代后周）安国院（五代后晋）明心院（宋）诸暨县

大雄寺（东晋）咸通保寿寺（唐）永寿寺（南朝）化城寺（五代后晋）青莲寺（五代后晋）三学禅院（唐）宝乘院（五代后唐）永庆院（唐）法海院（唐）

慈氏院（五代后晋）彰圣院（唐）香社院（隋）云峰院（唐）安隐院（唐）

灵峰院（五代后唐）净观寺（唐）

修惠院（五代后唐）三德院（唐）智度院（唐）保福院（唐）崇寿元（宋）崇胜院（唐）延庆院（唐）法善院（唐）道林院（唐）钟山院（南朝）法藏院（五代后周）延祥院（五代后晋）

咸通西岳院（南北朝时期）药师院（唐）荐福院（宋）

上普润院（五代后晋）下普润院（宋）明教院（五代后晋）净土院（唐）

永庆院（五代后周）法云院（五代后晋）化城院（南朝）慈光院（南北朝）崇法院（宋）

显教院（五代后晋）离相院（五代后晋）永福院（南北朝）净住院（唐）崇教院（唐）

清凉院（五代后汉）荐严院（唐）

明觉院（五代后周）栖岩院（唐）

净隐院（五代后晋）正觉院（五代后晋）归寄院（唐）宣妙院（唐）

香林院（五代后汉）云就院（五代后晋）梵蕙院（宋）

广福院（五代后周）资圣院（唐）普济院（宋）天曹院（宋）

宝林院（五代后晋）云居院（唐）解空院（宋）

四果院（五代后晋）大历广福院（宋1130）嘉福院（宋）萧山县

祗园寺（东晋）

觉苑寺（南北朝480）广化寺（南北朝）觉海寺（唐）慈云寺（南北朝）惠济院（五代后晋）净土院（唐）

正觉院（五代后唐）广慈禅寺（南北朝）真济院（唐）和庆院（唐）

明化院（五代后唐）开善院（五代后晋）净蕙院（五代后晋）广法院（五代后唐）广福院（五代后唐）资教院（五代后晋）兴法院（南北朝）净土院（南北朝）资福院（五代后周）重兴院（东晋）显教院（宋）兴教院（唐）普惠院（唐）圣果院（唐）资利院（宋）

栖真院（五代后汉）兴善院（五代后晋）灵峰院（五代后周）法印院（五代后周）六和院（五代后汉）崇因院（五代后汉）隆兴寺（宋）余姚县

龙泉寺（东晋）

九功寺（南北朝480）圆智寺（南北朝）建初寺（唐）普满寺 广安寺 长庆院 罗汉院

应天镇国禅院 悟法院 普济院 隆庆院 如意院 宝积院 广教院 西福昌院 普明院 东福昌院 建福院 普圆院 法性院 静凝教忠寺 清果院 禅慧院 明真院 双林院 正觉院 极乐院 超果院 普安院 慈圣院 嘉福院 报先院 胜果院 地藏尼院 上虞县 等慈寺 长庆寺 兴教禅院 戒德院 上乘院 智果院 国庆禅院 明教院 重明院 普净院 法果院 栖禅院 咸通宝泉院 智度院 诸林院 胜因院 澄照院 东资圣院 法界院 栖仁院 太岳院 乾符报恩院 明因院 瑞像院 西资圣院 海惠院 化度院 广教院 奉国报恩院 广明宝盖禅院 净众院 福祈禅院 福仙院 涌泉院 新昌县 宝相寺 云居寺 大明寺 七宝寺 福圣院 宝严院 慧云院 兴善院 祖印院 广福院 沃州真觉院 列翠院 鹫峰院 天宫院 华藏院 昌法院 保福院 香林院 普润院 普门院 方广院

第三篇：金属矿分布

中国金属矿产分布

----冶金自动化系列专题

[导读]：中国已探明储量的金属矿产有54种，即：铁矿、锰矿、铬矿、钛矿、钒矿、铜矿、铅矿、锌矿、铝土矿、镁矿、镍矿、钴矿、钨矿、锡矿、铋矿、钼矿、汞矿、锑矿、铂族金属(铂矿、钯矿、铱矿、铑矿、锇矿、钌矿)、金矿、银矿、铌矿、钽矿、铍矿、锂矿、锆矿、锶矿、铷矿、铯矿、稀土元素(钇矿、钆矿、铽矿、镝矿、铈矿、镧矿、镨矿、钕矿、钐矿、铕矿)、锗矿、镓矿、铟矿、铊矿、铪矿、铼矿、镉矿、钪矿、硒矿、蹄矿。现就主要金属矿产分布简介如下。

中国矿产分布

铁矿：全国已探明的铁矿区有1834处。大型和超大型铁矿区主要有：辽宁鞍山一本溪铁矿区、冀东一北京铁矿区、河北邯郸一刑台铁矿区、山西灵丘平型关铁矿、山西五台一岚县铁矿区、内蒙古包头一白云鄂博铁锈稀土矿、山东鲁中铁矿区、宁芜一庐纵铁矿区、安徽霍丘铁矿、湖北鄂东铁矿区、江西新余一吉安铁矿区、福建闽南铁矿区、海南石碌铁矿、四川攀枝花一西昌钒钛磁铁矿、云南滇中铁矿区、云南大勐龙铁矿、陕西略阳鱼洞子铁矿、甘肃红山铁矿、甘肃镜铁山铁矿、新疆哈密天湖铁矿，等等。

<< 中国铁矿资源分布

锰矿：全国已探明的锰矿区共有213处，主要有：辽宁瓦房子锰矿；福建连城锰矿；湖南湘潭、民乐、玛瑙山、响涛园等锰矿；广东有小带、新椿等锰矿；广西八

一、下雷、荔浦等锰矿；四川高燕和轿顶山锰矿；贵州遵义锰矿。

<< 中国锰矿资源概况及分布

铬铁矿：有56处产地，主要是新疆萨尔托海、西藏罗布莎、内蒙古贺根山、甘肃大道

尔吉等铬矿。

<< 中国铬铁矿资源概况及分布

铜矿：已探明矿区910处，主要为：黑龙江省多宝山；内蒙古自治区乌奴格吐山、霍各气；辽宁省红透山；安徽省铜陵铜矿集中区；江西省德兴、城门山、武山、水平；湖北省大冶一阳新铜矿集中区；广东省石菉；山西省中条山地区；云南省东川、易门、大红山；西藏自治区玉龙、马拉松多、多霞松多；新疆维吾尔自治区阿舍勒等铜矿。

<< 中国铜矿资源概况及分布

铝土矿：有310处产地，主要为：山西省的克俄、石公、相王、西河底、太湖石、郭偏梁一雷家苏、宽草坪；河南省的曹窑、马行沟、贾沟、石寺、竹林沟、夹沟、支建；山东省的淄博；广西壮族自治区的平果那豆；贵州省的遵义(团溪)、林歹、小山坝等铝土矿区。<< 中国铝土矿资源概况及分布

铅锌矿：有产地700多处，主要为：黑龙江省的西林；辽宁省的红透山、青城子；河北省的蔡家营子；内蒙古自治区的白音诺、东升庙、甲生盘、炭窑口；甘肃省的西成(厂坝)；陕西省铅硐山；青海省的锡铁山；湖南省的水口山、黄沙坪；广东省的凡口；浙江省的五部；江西省的冷水坑；江苏省的栖霞山；广西壮族自治区的大厂；云南省的兰坪、会泽、都龙；四川省的大梁子、呷村等铅锌矿。

<< 中国铅锌矿资源概况及分布

镍矿：有产地近百处。主要是吉林省的红旗岭、赤柏松；甘肃省的金川；新疆维吾尔自治区的喀拉通克、黄山；四川省的冷水菁、杨坪；云南省的白马寨、墨江等镍矿。<< 中国镍矿资源概况及分布

钼矿：有产地222处，主要是吉林大黑山；辽宁省杨家杖子、兰家沟；陕西省金堆城；河南省栾川等钼矿。

<< 中国钼矿资源概况及分布

钨矿：探明产地252处，主要是江西省西华山、漂塘、大吉山、盘古山、画眉坳、浒坑、下桐岭、岿美山；福建省行洛坑；湖南省柿竹园、新田岭、瑶岗仙；广东省锯板坑、莲花山；广西壮族自治区大明山、珊瑚；甘肃省塔儿沟等钨矿。

<< 中国钨矿资源概况及分布

锡矿：探明产地293处，主要是广西壮族自治区大厂、珊瑚、水岩坝；云南省东川；湖南省香花岭、红旗岭、野鸡尾等锡矿。

<< 中国锡矿资源概况及分布

汞、锑矿：探明汞产地103处、锑产地111处。主要是贵州万山、务川、丹寨、铜仁；湖南省新晃等汞矿，湖南省锡矿山、板溪；广西壮族自治区大厂；甘肃省崖湾等锑矿。陕西

省旬阳汞锑矿。

<< 中国汞矿资源概况及分布

<< 中国锑矿资源概况及分布

金矿：探明矿区1265处，主要有黑龙江省乌拉嘎、大安河、老柞山、呼玛；吉林省夹皮沟、珲春；辽宁省五龙；河北省张家口、迁西；山东省玲珑、焦家、新城、三家岛、尹格庄；河南省文峪、桐沟、金渠、秦岭、上宫；广东省河台；湖南省湘西；云南省墨江；四川省东北寨；青海省斑玛；新疆维吾尔自治区阿希、哈密等金矿。

<< 中国金矿资源概况及分布

银矿：探明产地569处，主要有陕西省银硐子；河南省破山；湖北省银洞沟、白果园；四川省砷村；江西省贵溪；吉林省山门；广东省庞西洞等银矿。

<< 中国银矿资源概况及分布

稀土、稀有金属：主要分布在内蒙古自治区(白云鄂博、801)、山东省(微山)、江西省(赣南、宜春)、广东省(粤北)、新疆维吾尔自治区(富蕴)等地。

<< 中国稀土、稀散金属矿资源概况及分布

第四篇：随机变量及其分布

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中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。

一般地，如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生1联系：1A0A发生A不发生

这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。

为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。

引例：随机试验E1：从一个装有编号为0，1，2，…，9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间={0，1，…，9}，其中i“摸到编号为i的球”，i=0,1,…,9.定义函数 ：ii，即(i)=i，i=0，1，…，9。

这就是和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应关系，此时表示摸到球的号码。

从上例中，我们不难体会到：

①对应关系的取值是随机的，也就是说，在试验之前，取什么值不能确定，而是由随机试验的可能结果决定的，但的所有可能取值是事先可以预言的。

②是定义在上而取值在R上的函数。

同时在上例中，我们可以用集合{i：(i)5}表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事件，因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间上的单值实函数为随机变量。这就有了如下定义：

定义：设随机试验E的样本空间为{}，=()是定义在上的单值实函数，若对任意实数x，集合{：()x}是随机事件，则称=()为随机变量。

定义表明随机变量=()是样本点的函数，为方便起见，通常写为，而集合{：()x}简记为{x}。

如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为{5}，则其概率为P{5}=3/5。随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机

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现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。今后，我们主要研究随机变量和它的分布。

§15.2 随机变量的概率分布

对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更关心它以多大的概率取那些值，即研究随机变量的统计规律性—分布函数。

一、随机变量的分布函数

由前可知，若是随机变量，则对xR，{x}是随机事件，所以P{x}有意义。当实数a

可见，只要对一切实数x给出概率P{x}，则任何事件{a<b}及它们的可列交、可列并的概率都可求得。从而P{x}，xR完全刻划了随机变量的统计规律，并决定了随机变量的一切概率特征。

1.定义：设是上的随机变量，对xR，称F(x)= P{x}为的分布函数。

2.性质：设F(x)是随机变量的分布函数，则F(x)具有如下性质：

①单调非降性：即对x1x2R，F(x1)F(x2)证明：对x1x2，有{x1}{x2}，则

F(x1)P{x1}P{x2}F(x2)

②规范性：F()limF(x)0,F()limF(x)1，xx③右连续性：对x0R,有 limF(x)F(x0)

xx0（性质②，③的证明可参考其它有关的资料）

注：反之可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是某随机变量的分布函数。

例1：判断下列函数是否为分布函数

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x0x000F1(x)sinx0x/

2（√）

F2(x)coxs0x

（×）

11x/2x由定义可见，要计算取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变量的概率分布，我们常选择F(x)来代替之。

3.运算：若abR，~F(x)则有：

P{ab}F(b)F(a)P{a}ˆlimF(x)F(a0)xaP{a}P{a}P{a}F(a)F(a0)P{a}1F(a)P{a}1F(a0)P{ab}F(b)F(a0)P{ab}F(b0)F(a0)P{ab}F(b0)F(a)

例2：已知的分布函数为

x00x/20x1

F(x)2/31x2

11/122x3x31求P{3},P{1},P{1/2},P{24}。

解：

P{3}F(3)1P{1}F(1)F(10)2/31/21/6P{1/2}1P{1/2}1F(1/2)11/43/4P{24}P{4}P{2}F(40)F(2)111/121/12

例3：设某随机变量的分布函数为F(x)ABarctanx，试确定A，B的值。

F()limF(x)lim(ABarctanx)A/2B0

解：由xxxxF()limF(x)lim(ABarctanx)A/2B1

得A1/2,B1/

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例4：设的分布函数为

0F(x)Ax21x00x

1确定A并求P{0.30.7} x1x1

解：由右连续性知limF(x)1，而F(1)A12，A1 即F(x)x2,0x1

则P{0.30.7}F(0.70)F(0.3)0.720.320.4

例5：设某随机变量的分布函数为

0xaF(x)ABarcsin(x/2)axa（a>0）

1xa求A，B。

0F(a)limF(x)lim(ABarcsin(x/a)ABarcsin(1)ABxaxa2

解：由

1limF(x)F(a)ABarcsin(x/a)ABxa2

A1/,B1/2

二、随机变量的分类

离散型r.v的取值只有有限个或可数个

r.v数为值连续型r.v.可以取某一区间的任一非离散型r.v.其它

三、离散型随机变量及其分布律（列）

1.定义：设是上的随机变量，若的全部可能取值为有限个或可列无限个（即的全部可能取值可一一列举出来），则称为离散型随机变量。

若的取值为xi,(i1,2,)，把事件{xi}的概率记为P{xi}pi,i1,2,，则称x1,x2,,xi,p,p,,p,为的分布列。

i12【注】：由定义可知，若样本空间是离散的，则定义在上的任何单值实函数都是离

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散型随机变量。

2.离散型随机变量的分布列满足下列性质：(1)非负性：pi0(2)规范性：pi1

i1Proof：pi是概率，即piP{xi}，故pi0

由于x1,x2,,xn,是的一切可能取值，故有{xi}，注意到对任意的i1ij，有{xi}{xj}，由概率的可列可加性知：1P{}P{{xi}}P{xi}pi

i1i1i1反之，任意一个满足以上二性质的数列{pi}，都可以作为某离散型随机变量的分布列。

有了的分布列以后，我们可以通过如下方式求的分布函数：

3.离散型随机变量的分布函数：

F(x)P{x}i:xixp{x}，若这样的i不存在，规定F(x)0

i显然，F(x)是一个右连续、单调非降的递阶函数，它在每个xi处有跳跃，其跃度为pi，当然，由F(x)也可以唯一确定xi和pi。因此的分布列也完全刻画了离散型随机变量取值的规律。这样，对于离散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说知道了它的分布列，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。

例1：袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，求取出的最大号的分布列及其分布函数并画出其图形。

解：先求的分布列：由题知，的可能取值为3，4，5，且

32323P{3}1/C51/10,P{4}C3/C53/10,P{5}C4/C56/10，

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453的分布列为：1/103/106/10，由F(x)P{xi}pi得：

xixx301/103x4 F(x)2/54x5x51注：离散型随机变量的分布列与其分布函数是一一对应的。常见的离散型分布有：

0xa1.退化分布（单点分布）： F(x)，P{a}1，1xa01x1x2.贝努里分布（两点分布）：或P{Xx}p(1p)qpnknk3.二项分布：B(k;n,p)P{k}k0,1,2,n kpq4.泊松（Poisson）分布：P{k}

四、连续性随机变量及概率密度函数

1.定义：设是随机变量，F(x)是它的分布函数，若存在一个非负可积函数p(x)使得对任意的x(,)，有F(x)P{x}p(t)dt，则称为连续性随机变量，称

xx0,1

kk!ek0,1,2,(0)

p(x)为的概率密度函数或分布密度函数。

由定义显然可知，F(x)连续。

2.F(x)的几何意义：p(x)在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线，则F(x)的几何意义是：以分布曲线p(x)为顶，以X轴为底，从到x的一块变面积。3.密度函数具有如下性质：

(1)非负性：p(x)0，xR(2)规范性：p(x)dx1



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Proof：由分布函数的性质有： 1limF(x)p(t)dt

x注：任意一个满足以上二性质的函数，都可以作为某连续型随机变量的密度函数。

(3)若p(x)在x处是连续的，则F'(x)p(x)注：由该性质，在连续点x处有p(x)limF(xx)F(x)P{xxx}lim，x0x0xx从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称之为概率密度的缘故。

(4)设a，b为任意实数，且ab，则p{ab}p(x)dx

ab(5)若是连续型随机变量，则aR,P{a}0 事实上，x0,有0P{a}P{axa}而limax0axaaxp(x)dx

p(x)dx0P{a}0

从此可知：概率为0的事件不一定是不可能事件，称为几乎不可能事件；同样概率为1的事件也不一定是必然事件。这样，对连续性随机变量有：

P{ab}P{ab}P{ab}P{ab}p(x)dx，abP{a}P{a}ap(x)dx

kx(1x)0x1例2：设随机变量的密度函数为p(x) 其中常数k0，试确

其它0定k的值并求概率p{0.3}和的分布函数。

解：由1p(x)dxkx(1x)dxk(xx2)dxk/6

0011k6

P{0.3}0.3p(x)dx6x(1x)dx0.784

0.31由于密度函数为

6x(1x)0x1p(x)其它0

0x0x分布函数F(x)06t(1t)dt0x1

1x1

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注：连续型随机变量的密度函数与其分布函数之间是一一对应的。

1常见的连续型分布有：①均匀分布：U[a,b]，p(x)ba0axb其它(xa)222；

②正态分布：N(a,2)，p(x)12ex；

ex③指数分布：P()，p(x)0x0x0(.0)。

以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时指的是它的分布函数；或者，当X是离散型随机变量时指的是它的分布律，当X是连续型随机变量时指的是它的概率密度。

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§15.3 随机变量的函数及其分布

设是一随机变量，yg(x)是一个连续的实值函数，按照随机变量的定义，g()也应是一随机变量。下面我们通过的分布来研究随机变量的分布。

关于该问题的一般提法：已知的分布，求g()的分布。

一、离散型随机变量函数的分布

x1,x2,已知的分布列为p,p, 求g()的分布列。

12由于是离散型随机变量，则g()仍是离散型随机变量，所以分布列为

g(x1),g(x2),p,p,，若其中有某些g(xi)相等，则把相等的值分别合并，并相应地将其概21率相加。

12102例1：设~0.20.30.10.4，试求1的分布列。

解：易知的可能取值为1，2，5，且可知

P{1}P{211}P{20}P{0}0.3P{2}P{21}P{1}P{1}0.10.20.3 P{5}P{2}0.4251则~0.30.30.4



二、连续型随机变量函数的分布

引例：已知的密度函数为p(x)，求ab(a0)的密度函数q(y)

ybP{(yb)/a}F()a0a因为F(y)P{y}P{aby}

ybP{(yb)/a}1F()a0a从而，其密度函数

yb1yb1F'()p()aaaaq(y)F'(y)yb1yb1F'()p()aaaaa0yb1)p(aaa0

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一般地有如下定理：

Th：设连续型随机变量的密度函数为p(x)，若yg(x)是处处可导的函数，则g()的密度函数为：

p(g1(y))[g1(y)]'yq(y)

0其它其中infg(x),supg(x)，D为其定义域。

xDxDProof：仅证g(x)g'(x)0[g1(y)]'0

g()在(,)内取值，所以，当y时，F(y)P{y}0，当y时，F(y)P{y}1 当y时，F(y)P{y}P{g()y}P{g1(y)}F(g1(y))

p(g1(y))[g1(y)]y从而有q(y)F'(y)

0其它ex(0)x0例2：设连续型随机变量~p(x)，试求e的密度函数q(y)。

0x0解：yexxlny,dx1，由x0yex1，则由上述定理可知 dyy1p(lny)y(1)(0)q(y)y0y1y1

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§15.4 随机变量的相互独立性

独立性的概念在概率论中是非常重要也是最基本的概念，它在概率论和数理统计及其应用中占有很重的地位。

一、随机变量的相互独立性

1.定义：设(,)是二维随机变量，若x,yR有

P{x,y}P{x}P{y}即F(x,y)F(x)F(y)，则称与相互独立。

2.设（ξ,η）是二维离散型随机变量，ξ,η相互独立对于(,)的任一可能取值(xi,yj)有p(xi,yi)p(xi)p(yi),即

pijpipj

例1.设二维随机变量(,)的联合分布列为

①求a,b应满足的条件；

②若与相互独立，求a,b的值。

解：①根据非负性和规范性可知：a0,b0且ab②因为与相互独立，则知pijpipj

311p221a124(4a)(8b)故 911bab24241124

3.设(ξ,η)是二维连续型随机变量，则ξ,η相互独立x,yR，有

p(x,y)p(x)p(y)几乎处处成立。

Proof: “F(x,y)”若p(x,y)xyp(x)p(y)，则

xp(u,v)dudvyyp(u)p(v)dvdv

xp(u)dup(v)dvF(x)F(y)ξ.η相互独立

“”由独立的定义F(x,y)F(x)F(y)

xp(u)duyp(v)dvxyp(u)p(v)dvdv

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由联合密度函数的定义知：P(x)P(y)是（ξ,η）的联合概率密度函数。即p(x,y)P(x)p(y)

例2.设(,)~F(x,y)A(Barctg)(Carctg)；

①求常数A,B,C；

②与是否相互独立； ③求f(x,y),f(x),f(y)。

解：①由规范性知：1F(,)A(B 2)(C2)A0y又0F(,y)limF(x,y)A(B2)(Carctan3)

xx)(C，同理0F(x,)limF(x,y)A(Barctan2B2)C2 2yx2y3从而A12，F(x,y)1xy(arctan)(arctan)

22322②由于

F(x)F(x,)1x1y(arctan),F(x)F(,y)(arctan)2223而F(x,y)F(x)F(y)，所以与相互独立。

③f(x)F(x)23,f(y)F(y) 22(4x)(9y)6

2(4x2)(9y2)因为与相互独立，所以f(x,y)f(x)f(y)【注】：①.若12n两两独立不能得到12n相互独立；

②.随机变量的独立性不具有传递性；

③对于(,)而言，由(,)的分布可以确定关于与的边缘分布，反之一般不成立，只有当与独立时，由边缘分布能确定联合分布；

④随机变量的独立性是随机事件独立性的扩充，我们也常利用问题的实际意义去判断两个随机变量的独立性。

二、随机向量函数的分布

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在前面，我们讨论了一维随机变量的函数g()的概率分布，下面我们讨论二维随机变量之间的函数分布：

已知(,)的分布，求,,1.和的分布：

①对离散型随机变量：

已知(,)的分布列为{Pij}，求的分布。这时的所有可能取值为{xiyj} i,j=1,2,3…

的分布 P{Zk}P{Zk}P{xi,Zkxi}P{Zkyj,yj}

i1j1若ξ，η独立，则

P{Zk}P{xi}P{Zkxi}P{Zkyj}P{yj}

ij即找出的所有可能取值，并注意将相同的值进行合并，然后求出相应的概率。

1 思考：设~1211，~112211，且与独立，2求：（1）(,)的联合分布列；（2）的分布列；（3）P{}? ②对连续型随机变量：

已知(,)是连续型随机变量，其联合密度函数为p(x,y)，求的密度。

F(z)P{z}P{z}[zxxyzP(x,y)dxdy

zztyxP(x,y)dy]dx[P(x,tx)dt]dx[P(x,tx)dx]dt

（若被积函数在积分区域上连续，则可交换积分顺序）

的密度函数为q(z)F(z)P(x,zx)dxP(zy,y)dy



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若与相互独立，则

q(z)P(x)P(zx)dxP(zy)P(y)dy（卷积公式）

即相互独立的二随机变量和的密度函数是这两个随机变量密度函数的卷积。以下仅对连续型随机变量考虑：设(,)~P(x,y)2．商的分布： F(z)P{z}xzyp(x,y)dxdydy0zyp(x,y)dxdyp(x,y)dx

0zyq(z)F(z)[0zyp(x,y)dx]dy[p(x,y)dx)]dyp(zy,y)ydy

0zy独立情形：q(z)P(zy)P(y)|y|dy

3.最大max{,}与最小min{,}的分布：

当与相互独立时，F(z)F(z)F(z),F(z)1[1F(z)][1F(z)]

10x1例4:已知 ~p1(x)其它0求2的密度函数。

ey~p2(x)0y0 且与相互独立，y00x1解：（法一）要使被积函数非零，则应有y0

2xyzz0zz2x0F(z)P{2z}p1(x)p2(y)dxdy2(eydy)dx0z2

002xyz1z2xy(edy)dxz200从而可得qr(z)Fr(z)。

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1/20x2（法二）令'2~p1'(x)

其它0易知，与相互独立（但与不一定相互独立），要使p1(x)p2(zx)非零，zx0则应满足条件：，0x2

则有

z00121zq(z)p1'(x)p2(zx)dxp2(zx)dxexzdx0z2

020212exzdxz220注：对于二维连续型随机变量(,)来说，无论是求(,)落在某一区域内的概率，还是求其函数的分布，都是使用公式 P{(,)D}P(x,y)dxdy。

D

第五篇：城市分布

优谱学业规划中心城市分布

东北区黑龙江： 哈尔滨（1）哈尔滨（2）大庆 齐齐哈尔吉林： 长春（1）长春（2）吉林 松原辽宁： 华北区北京： 天津： 河北： 山西： 内蒙： 华中区河南： 湖北： 湖南： 华东区上海： 江苏： 浙江： 山东： 安徽： 福建： 江西： 华南区广东： 广西： 海南： 西南区重庆： 四川： 贵州： 云南： 西藏西北区陕西： 甘肃： 青海： 宁夏： 新疆：

沈阳（1）沈阳（2）大连（1）大连（2）海淀 西城 东城 朝阳河西区 宝坻区 塘沽区 大港区石家庄 秦皇岛 唐山 沧州 保定太原（1）太原（2）临汾 长治 大同 呼市（1）呼市（2）包头 赤峰 通辽 郑州（1）郑州（2）洛阳 焦作武汉（1）武汉（2）宜昌 荆州 孝感 长沙（1）长沙（2）岳阳 株洲杨浦区 徐汇区 浦东新区 黄浦区南京（1）南京（2）苏州 无锡 南通 杭州（1）杭州（2）宁波 温州 绍兴 济南（1）济南（2）青岛（1）青岛（2）合肥（1）合肥（2）马鞍山 芜湖 安庆 福州 厦门南昌广州（1）广州（2）深圳（1）深圳（2）南宁 桂林 柳州沙坪坝区 南岗区 渝中区 九龙坡区成都（1）成都（2）绵阳贵阳昆明西安（1）西安（2）宝鸡兰州营口

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