2025年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

考试时间：2025年10月16日

8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．

2．函数的值域为

．

3．设为正实数，，则

．

4．如果，那么的取值范围是

．

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为

．（用数字作答）

6．在四面体中，已知，，则四面体的外接球的半径为

．

7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为

．

8．已知C，则数列中整数项的个数为

．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，求的值．

10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，试比较与的大小．

y

x

O

P

A

B

11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．

（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若，求△的面积．

2025年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

考试时间：2025年10月16日

9：40—12：10

一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．

A

B

C

D

Q

P

二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式

具有如下性质：

（1）均为正整数；

（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有

．

三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．

证明：．

四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．