选修2-2

1.3.2

函数的极值与导数

一、选择题

1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

[答案]　C

[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()

A．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1

D．极小值－1，极大值3

[答案]　D

[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)

令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1

当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－10，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()

A．必有f′(x0)＝0

B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0

[答案]　C

[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．

4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．

5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：

①f(x)是增函数，无极值；

②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．

其中正确的命题有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]　B

[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

6．函数f(x)＝x＋的极值情况是()

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值

B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2

[答案]　D

[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]　A

[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．

8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()

A．有极小值

B．有极大值

C．既有极大值又有极小值

D．无极值

[答案]　D

[解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′

＝1－＝

令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()

A．极大值为，极小值为0

B．极大值为0，极小值为

C．极大值为0，极小值为－

D．极大值为－，极小值为0

[答案]　A

[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①

f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②

由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1

＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是()

A．y＝－x3

B．y＝cos2x

C．y＝tanx－x

D．y＝

[答案]　B

[解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．

二、填空题

11．函数y＝的极大值为______，极小值为______．

[答案]　1

－1

[解析]　y′＝，令y′>0得－11或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

[答案]　a＋4　a－4

[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－

－9

[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．

[答案](－2,2)

[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图

观察图象得－2

三、解答题

15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．

[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

x

(－∞，－1)

－1

(－1,3)

(3，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

增

极大值

f(－1)

减

极小值

f(3)

增

(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；

(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.∴f′(x)＝x2－.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x

(－∞，－1)

－1

(－1,1)

(1，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大

值1



极小

值－1



由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．

[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即

解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故

f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故

f(x)在(－1,1)上是减函数．

∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．

(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为

y－y0＝3(x－1)(x－x0)．

注意到点A(0,16)在切线上，有

16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．

化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.18．(2024·北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c

∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f

′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．