2024年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册§4.4　数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式()

A．1＋<2

B．1＋＋<2

C．1＋＋<3

D．1＋＋＋<3

2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()

A．

B．－

C．－

D．＋

3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()

A．该命题对于n>2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋

A．1项

B．k项　　　C．2k－1项　　　D．2k项

5．对于不等式

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式

<＝＝(k＋1)＋1

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

6．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得()

A．当n＝6时，该命题不成立

B．当n＝6时，该命题成立

C．当n＝4时，该命题不成立

D．当n＝4时，该命题成立

7．(多选题)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是()

A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1

B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2

C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

二、填空题

8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．

9．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．

10．已知f

(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f

(2n)>时，f

(2k＋1)－f

(2k)＝________.11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝

2”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立．

12．记凸k边形的内角和为f

(k)，则凸k＋1边形的内角和f

(k＋1)＝f

(k)＋________.三、解答题

13．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)；

(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．

14．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an

15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．

参考答案

一、选择题

1．答案：B

解析：因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.]

2．答案：C

解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.]

3．答案：B

解析：由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]

4．答案：D

解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋

5．答案：D

解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．

故选D.6．

答案：C

解析：若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．

它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．

7．答案：BC

解析：n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误B正确；

当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.二、填空题

8．答案：n＝k＋2时等式成立

解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．

9.答案：(k＋3)3

解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3.10.＋＋…＋

解析：因为假设n＝k时，f

(2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，f

(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f

(2k＋1)－f

(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)

＝＋＋…＋.11.当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立　k＋2

解析：对1－＋－＋…＋－＝2在n为正偶数，用数学归纳法证明．

归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立；

归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立．

12.答案：π

解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f

(k＋1)＝f

(k)＋π.三、解答题

13．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．

②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)

＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．

综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．

(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2

<2k＋1，所以2＋＝＝<＝2.故当n＝k＋1时，不等式也成立．

综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.14．证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1

②假设n＝k(k∈N*)时，ak

＝－＝>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．

综上所述，不等式an

15．解：取n＝1，2，3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；

②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2

＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．

由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.