2024年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学试题

第Ⅰ卷（选择题

共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区

域（不包含边界）为

（）

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

O

阿

O

阿

O

阿

O

阿

(A)

(B)

(C)

(D)

2．抛物线的准线方程是y=2，则a的值为

（）

A．

B．－

C．8

D．－8

3．已知

（）

A．

B．－

C．

D．－

4．设函数则x0的取值范围是

（）

A．（－1，1）

B．（－1，+∞）

C．（－∞，－2）∪

（0，+∞）

D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的（）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

6．函数的反函数为

（）

A．

B．

C．

D．

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

（）

A．

B．

C．

D．

8．设曲线在点处切线的倾斜角的取值范

围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为

（）

A．[]

B．

C．

D．

9．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则

|m－n|=

（）

A．1

B．

C．

D．

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

（）

A．

B．

C．

D．

11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1<

x4<2，则tanθ的取值范围是

（）

A．

B．

C．

D．

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

（）

A．3π

B．4π

C．

π

D．6π

第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.13．展开式中x9的系数是

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2024辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，辆

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分

（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种

且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法

有

种.（以数字作答）

16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD.②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD.④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是

.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

18．（本小题满分12分）

已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.D

E

K

B

C1

A1

B1

A

F

C

G

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.20．（本小题满分12分）

已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）

已知为正整数.（Ⅰ）设；

（Ⅱ）设

22．（本小题满分14分）

设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q1的横坐标为

（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列

O

c

y

l

x

Q1

Q2

Q3

a1

a2

a3

r2

r1

（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）当a=1时，证明

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数

学

试

题（江苏卷）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C

2．B

3．D

4．D

5．B

6．B

7．C

8．B

9．C

10．D

11．C

12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．

14．6,30,10

15．120

16．①④

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ），因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为

解法二：三件产品都合格的概率为

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分

解：由

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（Ⅱ）连结A1D，有,设A1到平面AED的距离为h，则

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点

（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.证明：（Ⅰ）因为，所以

（Ⅱ）对函数求导数:

∴

即对任意

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（Ⅰ）解：∵

∴

∴，∴

（Ⅱ）证明：由a=1知

∵

∴

∵当

∴

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，因此

=