2024年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.2.1　第2课时　等差数列的性质

一、选择题

1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于()

A．－1

B．－2

C．－3

D．－4

2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝

()

A．6

B．7

C．8

D．9

3．在等差数列{an}中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝()

A．10

B．15

C．20

D．25

4．下列说法中正确的是()

A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列

B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列

C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列

D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列

5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为()

A．钱

B．钱

C．钱

D．钱

6．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是()

A．数列{an}是递增数列

B．数列{nan}是递增数列

C．数列是递增数列

D．数列{an＋3nd}是递增数列

7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为()

A．个

B．个

C．个

D．个

二、填空题

8．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________.9．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．

10．(一题多空)在通常情况下，从地面到10

km高空，高度每增加1

km，气温就下降某一个固定数值．如果1

km高度的气温是8.5

℃，5

km高度的气温是－17.5

℃，则2

km，4

km，8

km高度的气温分别为________、________、________.11．(一题两空)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________.12．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．

三、解答题

13．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．

14．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．

15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．

甲　　　　　　　　　乙

请您根据提供的信息说明，求：

(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；

(3)哪一年的规模最大？请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．答案：C

解析：由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.2．

答案：B

解析：∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7.3．

答案：C

解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故选C.4．

答案：C

解析：因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．

5．答案：B

解析：根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，①

a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，②

联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝.6．

答案：AD

解析：在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；＝＝＋d.当b＞0时，数列递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列．故D正确，应选AD.7．

答案：C

解析：易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.故最小一份的量为个，故选C.二、填空题

8．答案：132

解析：在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.9.答案：1或2

解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.10.答案：2

℃　－11

℃　－37

℃

解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2

km，4

km，8

km高度的气温分别为2

℃，－11

℃，－37

℃.11.答案：100　100

解析：设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0.∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100.12.答案：

解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)，又n－m＝4d2，d2＝(n－m)，∴＝＝.]

三、解答题

13．解：法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±.当d＝时，a1＝－，an＝n－；

当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，∴16－25d2＝7，∴d＝±.当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；

当d＝－时，an＝－n＋.法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4，∴

∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，∴或

由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，∴an＝a3＋(n－3)d＝n－.同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋.14．解：法一：设这三个数为a，b，c(a

法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得

由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4，6，8.15．解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10.从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得∴⇒a2＝1.2；

由b1＝30，b6＝10，得

∴⇒b2＝26，∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．

(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．

∵对称轴为n＝，∴当n＝2时，cn最大．

答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；

(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；

(3)第2年的规模最大．