第六章

实数（2）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各式中无意义的是（）

A.B.C.D.2.在下列说法中：10的平方根是±；‚-2是4的一个平方根；ƒ的平方根是；

④0.01的算术平方根是0.1；⑤，其中正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下列说法中正确的是（）

A.立方根是它本身的数只有1和0

B.算数平方根是它本身的数只有1和0

C.平方根是它本身的数只有1和0

D.绝对值是它本身的数只有1和0

4.的立方根是（）

A.B.C.D.5.现有四个无理数，，其中在实数+1

与

+1

之间的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

6.实数，-2，-3的大小关系是（）

A.B.C.D.7.已知

=1.147，=2.472，=0.532

5，则的值是（）

A.24.72

B.53.25

C.11.47

D.114.7

8.若，则的大小关系是（）

A.B.C.D.9.已知是169的平方根，且，则的值是（）

A.11

B.±11

C.±15

D.65或

10.大于且小于的整数有（）

A.9个

B.8个

C

.7个

D.5个

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.绝对值是，的相反数是

.12.的平方根是，的平方根是，-343的立方根是，的平方根是

.13.比较大小：

（1）

；（2）

；（3）

；（4）

2..14.当

时，有意义。

15.已知=0，则

=

.16.最大的负整数是，最小的正整数是，绝对值最小的实数是，不超过的最大整数是

.17.已知

且，则的值为。

18.已知一个正数的两个平方根是和，则=，=

.19.设是大于1的实数，若

在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、C三点在数轴上从左至右的顺序是

.20.若无理数满足1，请写出两个符合条件的无理数

.三、解答题（共40分）

21.（8分）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

22.（12分）求下列各式中的的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

23.（6分）已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：

24.（7分）若、、是有理数，且满足等式，试计算的值。

25.（7分）观察：，即，即

猜想

等于什么，并通过计算验证你的猜想.参考答案

1.D；2.C；3.B；4.C；5.B；6.B；7.C；8.D；9.D；10.A；

11.，；12.±3，±2，-7，±4；13.＞，＞，＞，＜；14.-2≤≤；

15.4；16.-1，1，0，-5；17.±；18.1，4；19.B＜C＜A；20.，；

21.1，-3，-1，-3；22.或，3或者2，-1，-；23.-

；24.0；

不等式与不等式组单元测试题

一、填空题(每题3分，共30分)

1、不等式组的解集是

2、将下列数轴上的x的范围用不等式表示出来

3、的非正整数解为

4、a>b,则－2a

－2b.5、3X≤12的自然数解有

个.6、不等式x＞－3的解集是。

7、用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的与4的差。

8、若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m

.9、三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是

10、某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局得反扣1分。在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，小王进入了下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，问小王最多输　　　局比赛

二、选择题（每小题2分，共20分）

11、在数轴上表示不等式≥－2的解集，正确的是（）

A

B

C

D12、下列叙述不正确的是（）

A、若x<0，则x2>x

B、如果a<-1，则a>-a

C、若，则a>0

D、如果b>a>0，则

13、如图1，设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为

A

A

图2

A、○□△

B、○△□

C、□○△

D、△□○

图114、如图2天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（）

C

0

0

D

0

A

0

B15、代数式1-m的值大于-1，又不大于3，则m的取值范围是（）

16、不等式的正整数解为（）

A.1个

B.3个

C.4个

D.5个

17、不等式组的解集是（）

18、如果关于x、y的方程组的解是负数，则a的取值范围是

A.-4

B.a>5

C.a<-4

D.无解

19、若关于x的不等式组的解集是x>2a,则a的取值范围是

A.a>4

B.a>2

C.a=2

D.a≥220、若方程组中，若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是

三、解答题（第1题20分，第2、3各5分，第4、5题各10分，共50分）

1、解下列不等式(或不等式组)，并在数轴上表示解集。

（1）2x－3<6x＋13；

（2）2（5x－9）≤x+3（4－2x）.（3）

（4）

2、在下列解题过程中有错，请在出错之处打个叉，并给予纠正。

解：

3、某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元；不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少？

4、若不等式组的解集为-1

5、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

A型

B型

价

格(万元/台)

处理污水量

(吨/月)

240

200

年消耗费

(万元/台)

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.(1)请你设计该企业有几种购买方案;

(2)若该企业每月产生的污水量为2025吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;

(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

不等式与不等式组单元测试题（含答案）

一、填空题

1、-2-67、5x+1≥　　8、m<39、3

二、选择题

11、A　　12、B　　13、A　　14、A　　15、C16、B17、C18、D19、D20、A

三、解答题

1（1）x>4

(2)x≤2（3）x>3（4）x>32、（略）

3、解：设从甲地到乙地路程大约是x

km，依题意可列：

10＋1.2(x-5)≤17.2

解得x≤11

答：从甲地到乙地路程大约是11公里。

4、解：　由原不等式组得∵该不等式组的解集为-1

∴有2b+3＝-1，①(a+1)＝1，②　联立①、②解得a=1，b＝-2，∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)＝-6。

5、解：(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型(10-x)台.由题意知,∵x取非负整数,∴x可取0、1、2

∴有三种购买方案:购A型0台,B型10台;购A型1台,B型9台;购A型2台,B型8台.(2)由题意得

当

∴为了节约资金应购A型1台，B型9台。

(3)10年企业自己处理污水的总资金为：

若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为：

整式乘法与因式分解

一、选择题：

1．下列计算正确的是（）

A．a2+b3=2a5

B．a4÷a=a4

C．a2•a3=a6

D．（﹣a2）3=﹣a6

2．计算（a3）2的结果是（）

A．a5

B．a6

C．a8

D．a9

3．下列计算中，正确的个数有（）

①3x3•（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．计算2x3÷x2的结果是（）

A．x

B．2x

C．2x5

D．2x6

5．下列各式是完全平方式的是（）

A．x2﹣x+

B．1+x2

C．x+xy+1

D．x2+2x﹣1

6．下列各式中能用平方差公式是（）

A．（x+y）（y+x）

B．（x+y）（y﹣x）

C．（x+y）（﹣y﹣x）

D．（﹣x+y）（y﹣x）

7．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）

A．﹣3

B．3

C．0

D．1

8．若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（）

A．5

B．3

C．15

D．10

9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（）

A．p=1，q=﹣12

B．p=﹣1，q=12

C．p=7，q=12

D．p=7，q=﹣12

10．下列各式从左到右的变形，正确的是（）

A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y）

B．﹣a+b=﹣（a+b）

C．（y﹣x）2=（x﹣y）2

D．（a﹣b）3=（b﹣a）3

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．计算：（﹣3x2y）•（xy2）=　　．

12．计算：

=　　．

13．计算：（）2025×（﹣1）2025=　　．

14．若代数式2a2+3a+1的值为6，则代数式6a2+9a+5的值为　　．

15．当x　　时，（x﹣4）0等于1．

16．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　　．

17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，则a=，b=　　．

18．已知a+=3，则a2+的值是　　．

三、解答题（共5小题，满分46分）

19．计算：

（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）；

（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）

20．分解因式：

（1）m2﹣6m+9；

（2）（x+y）2+2（x+y）+1；

（3）3x﹣12x3；

（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

21．先化简，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1．

22．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．

23．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

整式乘法与因式分解

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．下列计算正确的是（）

A．a2+b3=2a5

B．a4÷a=a4

C．a2•a3=a6

D．（﹣a2）3=﹣a6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

【解答】解：A、a2与b3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、应为a4÷a=a3，故本选项错误；

C、应为a3•a2=a5，故本选项错误；

D、（﹣a2）3=﹣a6，正确．

故选D．

【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

2．计算（a3）2的结果是（）

A．a5

B．a6

C．a8

D．a9

【考点】幂的乘方与积的乘方．

【专题】计算题．

【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可求．

【解答】解：（a3）2=a6，故选B．

【点评】本题考查了幂的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式．

3．下列计算中，正确的个数有（）

①3x3•（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【考点】整式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】①原式利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果；

②原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果；

③原式利用幂的乘方运算计算即可得到结果；

④原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果．

【解答】解：①3x3•（﹣2x2）=﹣6x5，正确；

②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正确；

③（a3）2=a6，错误；

④（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，错误，则正确的个数有2个．

故选B．

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．计算2x3÷x2的结果是（）

A．x

B．2x

C．2x5

D．2x6

【考点】整式的除法；同底数幂的除法．

【分析】根据单项式除单项式的法则，同底数幂相除，底数不变指数相减的性质，对各选项计算后选取答案．

【解答】解：2x3÷x2=2x．

故选B．

【点评】本题比较容易，考查整式的除法和同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

5．下列各式是完全平方式的是（）

A．x2﹣x+

B．1+x2

C．x+xy+1

D．x2+2x﹣1

【考点】完全平方式．

【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．

【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；

B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；

C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；

D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．

故选A．

【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．

6．下列各式中能用平方差公式是（）

A．（x+y）（y+x）

B．（x+y）（y﹣x）

C．（x+y）（﹣y﹣x）

D．（﹣x+y）（y﹣x）

【考点】平方差公式．

【专题】计算题．

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．

【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，故选B

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

7．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）

A．﹣3

B．3

C．0

D．1

【考点】多项式乘多项式．

【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．

【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．

故选：A．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．

8．若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（）

A．5

B．3

C．15

D．10

【考点】同底数幂的除法．

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．

【解答】解：3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，故选：B．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．

9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（）

A．p=1，q=﹣12

B．p=﹣1，q=12

C．p=7，q=12

D．p=7，q=﹣12

【考点】多项式乘多项式．

【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．

【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，则p=1，q=﹣12．

故选A．

【点评】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．

10．下列各式从左到右的变形，正确的是（）

A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y）

B．﹣a+b=﹣（a+b）

C．（y﹣x）2=（x﹣y）2

D．（a﹣b）3=（b﹣a）3

【考点】完全平方公式；去括号与添括号．

【分析】A、B都是利用添括号法则进行变形，C、利用完全平方公式计算即可；D、利用立方差公式计算即可．

【解答】解：A、∵﹣x﹣y=﹣（x+y），故此选项错误；

B、∵﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；

C、∵（y﹣x）2=y2﹣2xy+x2=（x﹣y）2，故此选项正确；

D、∵（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，（b﹣a）3=b3﹣3ab2+3a2b﹣a3，∴（a﹣b）3≠（b﹣a）3，故此选项错误．

故选C．

【点评】本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．括号前是“﹣”号，括到括号里各项都变号，括号前是“+”号，括到括号里各项不变号．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．计算：（﹣3x2y）•（xy2）=　　．

【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法．

【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质计算即可．

【解答】解：（﹣3x2y）•（xy2），=（﹣3）××x2•x•y•y2，=﹣x2+1•y1+2，=﹣x3y3．

【点评】本题主要考查单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．

12．计算：

=　　．

【考点】平方差公式．

【分析】利用平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行计算即可．

【解答】解：原式=﹣（n﹣m）（n+m）

=﹣[n2﹣（m）2]

=m2﹣n2．

故答案是：

m2﹣n2

【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

13．计算：（）2025×（﹣1）2025=　　．

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】先把原式化为（）2025×（﹣1）2025×（﹣1），再根据有理数的乘方法则计算．

【解答】解：（）2025×（﹣1）2025

=（）2025×（﹣1）2025×（﹣1）

=（﹣×1）2025×（﹣1）

=﹣1×（﹣1）

=．

故答案为：．

【点评】本题考查了有理数的乘方，解题时牢记法则是关键．

14．若代数式2a2+3a+1的值为6，则代数式6a2+9a+5的值为　　．

【考点】代数式求值．

【专题】计算题．

【分析】由题意列出关系式，求出2a2+3a的值，将所求式子变形后，把2a2+3a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5，∴6a2+9a+5

=3（2a2+3a）+5

=20．

故答案为：20．

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．

15．当x　　时，（x﹣4）0等于1．

【考点】零指数幂．

【专题】计算题．

【分析】根据0指数幂底数不能为0列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵（x﹣4）0=1，∴x﹣4≠0，∴x≠4．

故答案为：≠4．

【点评】本题考查的是0指数幂的定义，即任何非0数的0次幂等于1．

16．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　　．

【考点】因式分解的意义．

【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．

【解答】解：（x+1）（x﹣2）

=x2﹣2x+x﹣2

=x2﹣x﹣2

所以a=﹣1，b=﹣2，则a+b=﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．

17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，则a=，b=　　．

【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．

【分析】本题应对方程进行变形，将b2﹣2b+1化为平方数，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”来解题．

【解答】解：原方程变形为：|a﹣2|+（b﹣1）2=0，∴a﹣2=0或b﹣1=0，∴a=2，b=1．

【点评】本题考查了非负数的性质，两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．

18．已知a+=3，则a2+的值是　　．

【考点】完全平方公式．

【专题】常规题型．

【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

【解答】解：∵a+=3，∴a2+2+=9，∴a2+=9﹣2=7．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．

三、解答题（共5小题，满分46分）

19．计算：

（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）；

（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）

【考点】整式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】（1）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用乘除法则计算即可得到结果；

（2）原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．

【解答】解：（1）原式=a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab）=a10b6；

（2）原式=6a3﹣27a2+9a﹣8a+4a=6a3﹣35a2+13a；

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．分解因式：

（1）m2﹣6m+9；

（2）（x+y）2+2（x+y）+1；

（3）3x﹣12x3；

（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】（1）利用完全平方公式即可分解；

（2）利用完全平方公式即可分解；

（3）首先提公因式3x，然后利用平方差公式分解即可；

（4）首先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式分解．

【解答】解：（1）m2﹣6m+9=（m﹣3）2；

（2）（x+y）2+2（x+y）+1=（x+y+1）2．

（3）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；

（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

=9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）

=（x﹣y）（9a2﹣4b2）

=（x﹣y）（3a+2b）•（3a﹣2b）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

21．先化简，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先根据多项式乘多项式的法则以及平方差公式计算，再去括号，然后合并，最后把a、x的值代入计算．

【解答】解：原式=2（x2﹣x﹣6）﹣（9﹣a2）

=2x2﹣2x+a2﹣21，当a=﹣2，x=1时，原式=2×12﹣2×1+（﹣2）2﹣21=﹣17．

【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是去括号、合并同类项．

22．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．

【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．

【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y

∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

23．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【考点】因式分解的应用．

【专题】几何图形问题；探究型；因式分解．

【分析】由2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc分组因式分解，利用非负数的性质得到三边关系，从而判定三角形形状．

【解答】解：△ABC是等边三角形．

证明如下：

因为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，所以2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，所以（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，所以△ABC是等边三角形．

【点评】此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．

《整式的乘法与因式分解》

一、填空题

1．若x•xa•xb•xc=x2000，则a+b+c=　　．

2．（﹣2ab）=，（﹣a2）3（﹣a32）=　　．

3．如果（a3）2•ax=a24，则x=　　．

4．计算：（1﹣2a）（2a﹣1）=　　．

5．有一个长4×109mm，宽2.5×103mm，高6×103mm的长方体水箱，这个水箱的容积是　　mm2．

6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式是：　　．

7．已知（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2﹣（a1+a3）2的值．

8．已知：A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，则3AB﹣AC=　　．

9．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片　　张，B类卡片　　张，C类卡片　　张．

10．我国北宋时期数学家贾宪的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如图所示，通过观察你认为图中的a=　　．

二、选择题

11．下列运算正确的是（）

A．x2•x3=x6

B．x2+x2=2x4

C．（﹣2x）2=﹣4x2

D．（﹣3a3）•（﹣5a5）=15a8

12．如果一个单项式与﹣3ab的积为﹣a2bc，则这个单项式为（）

A．

a2c

B．

ac

C．

a2c

D．

ac

13．计算[（a+b）2]3•（a+b）3的正确结果是（）

A．（a+b）8

B．（a+b）9

C．（a+b）10

D．（a+b）11

14．若x2﹣y2=20，且x+y=﹣5，则x﹣y的值是（）

A．5

B．4

C．﹣4

D．以上都不对

15．若25x2+30xy+k是一个完全平方式，则k是（）

A．36y2

B．9y2

C．6y2

D．y2

16．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值是（）

A．2

B．3

C．4

D．6

17．计算（5x+2）（2x﹣1）的结果是（）

A．10x2﹣2

B．10x2﹣x﹣2

C．10x2+4x﹣2

D．10x2﹣5x﹣2

18．下列计算正确的是（）

A．（x+7）（x﹣8）=x2+x﹣56

B．（x+2）2=x2+4

C．（7﹣2x）（8+x）=56﹣2x2

D．（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2

三、解答题（共46分）

19．利用乘法公式公式计算

（1）（3a+b）（3a﹣b）；

（2）10012．

20．计算：（x+1）2﹣（x﹣1）2．

21．化简求值：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中a=﹣2，b=．

22．解方程：2（x﹣2）+x2=（x+1）（x﹣1）+x．

23．如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积．

24．学习了整数幂的运算后，小明给小华出了这样一道题：试比较3555，4444，5333的大小？小华怎么也做不出来．聪明的读者你能帮小华解答吗？

整式的乘法与因式分解

参考答案与试题解析

一、填空题

1．若x•xa•xb•xc=x2000，则a+b+c=　　．

【考点】同底数幂的乘法．

【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：x•xa•xb•xc=x1+a+b+c=x2000，1+a+b+c=2025，a+b+c=1999，故答案为：1999．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加得出1+a+b+c=2025是解题关键．

2．（﹣2ab）=，（﹣a2）3（﹣a32）=　　．

【考点】单项式乘多项式；单项式乘单项式．

【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．

【解答】解：﹣2ab（a﹣b）

=﹣2ab•a+2ab•b

=﹣2a2b+2ab2，（﹣a2）3（﹣a32）=﹣a6•（﹣a32）=a38．

故答案为：﹣2a2b+2ab2，a38．

【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．

3．如果（a3）2•ax=a24，则x=　　．

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法得出方程6+x=24，求出即可．

【解答】解：∵（a3）2•ax=a24，∴a6•ax=a24，∴6+x=24，∴x=18，故答案为：18．

【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的应用，解此题的关键是得出方程6+x=24．

4．计算：（1﹣2a）（2a﹣1）=　　．

【考点】完全平方公式．

【分析】先提取“﹣”号，再根据完全平方公式进行计算即可．

【解答】解：（1﹣2a）（2a﹣1）=﹣（1﹣2a）2

=﹣（1﹣4a+4a2）

=﹣1+4a﹣4a2，故答案为：﹣1+4a﹣4a2．

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键．

5．有一个长4×109mm，宽2.5×103mm，高6×103mm的长方体水箱，这个水箱的容积是　　mm2．

【考点】单项式乘单项式．

【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．

【解答】解：∵长4×109mm，宽2.5×103mm，高6×103mm的长方体水箱，∴这个水箱的容积是：4×109×2.5×103×6×103=6×1016（mm2）．

故答案为：6×1016．

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式是：　　．

【考点】单项式乘多项式．

【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．

【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab．

故答案为：2a（a+b）=2a2+2ab

【点评】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．

7．已知（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2﹣（a1+a3）2的值．

【考点】实数的运算．

【分析】利用多项式乘法公式去括号进而合并同类项得出a0=2，a1=﹣6，a2=3，a3=﹣1，进而代入求出即可．

【解答】解：∵（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，∴（﹣x）（﹣x）2

=（）（2﹣2x+x2）

=2﹣6x+3x2﹣x3，则a0=2，a1=﹣6，a2=3，a3=﹣1，（a0+a2）2﹣（a1+a3）2

=（2+3）2﹣（﹣6﹣1）2

=50﹣49

=1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用多项式乘法运算是解题关键．

8．已知：A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，则3AB﹣AC=　　．

【考点】整式的混合运算．

【分析】先将3AB﹣AC变形为A（3B﹣C），再将A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2代入，利用整式混合运算的顺序及法则计算即可．

【解答】解：∵A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，∴3AB﹣AC=A（3B﹣C）

=﹣2ab[3×3ab（a+2b）﹣（2a2b﹣2ab2）]

=﹣2ab[9a2b+18ab2﹣a2b+ab2]

=﹣2ab[8a2b+19ab2]

=﹣16a3b2﹣38a2b3．

故答案为﹣16a3b2﹣38a2b3．

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及法则是解题的关键．

9．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片　　张，B类卡片　　张，C类卡片　　张．

【考点】整式的混合运算．

【专题】应用题．

【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断．

【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张．

故本题答案为：2；3；1．

【点评】此题的立意较新颖，主要考查多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．

10．我国北宋时期数学家贾宪的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如图所示，通过观察你认为图中的a=　　．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】由图片可以看出，从第三行数开始，除去第一项和最后一项，每个数都等于它前一列和列数与它相同的这两个数的和．

【解答】解：根据分析那么a就应该等于3+3即a=6．

故答案为6．

【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

二、选择题

11．下列运算正确的是（）

A．x2•x3=x6

B．x2+x2=2x4

C．（﹣2x）2=﹣4x2

D．（﹣3a3）•（﹣5a5）=15a8

【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简求出即可．

【解答】解：A、x2•x3=x5，故此选项错误；

B、x2+x2=2x2，故此选项错误；

C、（﹣2x）2=4x2，故此选项错误；

D、（﹣3a3）•（﹣5a5）=15a8，故此选正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及合并同类项和积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

12．如果一个单项式与﹣3ab的积为﹣a2bc，则这个单项式为（）

A．

a2c

B．

ac

C．

a2c

D．

ac

【考点】整式的除法．

【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法．根据单项式的除法法则计算即可得出结果．

【解答】解：（﹣

a2bc）÷（﹣3ab）=ac．

故选B．

【点评】本题考查了单项式的除法法则．单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的幂分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式．

13．计算[（a+b）2]3•（a+b）3的正确结果是（）

A．（a+b）8

B．（a+b）9

C．（a+b）10

D．（a+b）11

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则求解．

【解答】解：[（a+b）2]3•（a+b）3=（a+b）9．

故选B．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．

14．若x2﹣y2=20，且x+y=﹣5，则x﹣y的值是（）

A．5

B．4

C．﹣4

D．以上都不对

【考点】平方差公式．

【分析】根据平方差公式x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），从而得出x﹣y的值．

【解答】解：∵x2﹣y2=20，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），∵x+y=﹣5，∴（x+y）（x﹣y）=20，∴x﹣y=﹣4．

故选C．

【点评】本题考查了平方差公式，平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．

15．若25x2+30xy+k是一个完全平方式，则k是（）

A．36y2

B．9y2

C．6y2

D．y2

【考点】完全平方式．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．

【解答】解：∵25x2+30xy+k是一个完全平方式，∴（5x）2+2×5x×3y+k是一个完全平方式，∴k=（3y）2=9y2，故选：B．

【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．

16．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值是（）

A．2

B．3

C．4

D．6

【考点】因式分解的应用．

【分析】把a2﹣b2+4b变形为（a﹣b）（a+b）+4b，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．

【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b=（a﹣b）（a+b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a﹣2b+4b，=2（a+b），=2×2，=4．

故选C．

【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．

17．计算（5x+2）（2x﹣1）的结果是（）

A．10x2﹣2

B．10x2﹣x﹣2

C．10x2+4x﹣2

D．10x2﹣5x﹣2

【考点】多项式乘多项式．

【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．

【解答】原式=10x2﹣5x+4x﹣2=10x2﹣x﹣2．

故选B．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．

18．下列计算正确的是（）

A．（x+7）（x﹣8）=x2+x﹣56

B．（x+2）2=x2+4

C．（7﹣2x）（8+x）=56﹣2x2

D．（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；平方差公式．

【分析】利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．

【解答】解：A、（x+7）（x﹣8）=x2﹣x﹣56，错误；

B、（x+2）2=x2+4x+4，错误；

C、（7﹣2x）（8+x）=56﹣9x﹣2x2，错误；

D、（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2，正确；

故选D

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题（共46分）

19．利用乘法公式公式计算

（1）（3a+b）（3a﹣b）；

（2）10012．

【考点】平方差公式；完全平方公式．

【分析】（1）符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可；

（2）先把1001变形为1000+1，再利用完全平方公式计算即可．

【解答】解：（1）（3a+b）（3a﹣b）=（3a）2﹣b2

=9a2﹣b2；

（2）10012=（1000+1）2

=10002++2025+1

=1000000+2025

=1002001．

【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，利用乘法公式进行整式的乘法运算．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．

20．计算：（x+1）2﹣（x﹣1）2．

【考点】完全平方公式．

【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并即可．

【解答】解：原式=（x2+5x+1）﹣（x2﹣5x+1）

=x2+5x+1﹣x2+5x﹣1

=10x．

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记完全平方公式是解此题的关键．

21．化简求值：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中a=﹣2，b=．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再把a、b的值代入计算．

【解答】解：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+9b2+4a2+12ab+9b2

=4a2+27b2，当a=﹣2，b=时，原式=4×（﹣2）2+27×（）2=16+3=19．

【点评】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的运用，熟练掌握公式结构是解题的关键，要注意此类题目的解题格式．

22．解方程：2（x﹣2）+x2=（x+1）（x﹣1）+x．

【考点】多项式乘多项式；解一元一次方程．

【分析】利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．

【解答】解：去括号得：2x﹣4+x2=x2﹣1+x．

移项合并得：x=3．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积．

【考点】整式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．

【解答】解：根据题意得：ab﹣（a﹣c）（b﹣c）=ab﹣（ab﹣ac﹣bc+c2）=ab﹣ab+ac+bc﹣c2=ac+bc﹣c2．

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．学习了整数幂的运算后，小明给小华出了这样一道题：试比较3555，4444，5333的大小？小华怎么也做不出来．聪明的读者你能帮小华解答吗？

【考点】幂的乘方与积的乘方．

【专题】计算题．

【分析】三个数利用幂的乘方变形为指数相同的幂，比较底数大小即可得到三个数大小．

【解答】解：能，根据题意得：3555=（35）111=（243）111，4444=（44）111=（256）111，5333=（53）111=（125）111，∵125＜243＜256，即53＜35＜44，∴4444＞3555＞5333．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

检测题

(时间：120分钟　　满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(衡阳)下列运算结果正确的是()

A．x2＋x3＝x5

B．x3·x2＝x6

C．x5÷x＝x5

D．x3·(3x)2＝9x5

2．(1＋x2)(x2－1)的计算结果是()

A．x2－1

B．x2＋1

C．x4－1

D．1－x4

3．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是()

→→→→→

A．m

B．m-2

C．m＋1

D．m－1

4．下列计算错误的是()

A．(－＋4x2)÷＝－＋8x2

B．(x＋2y)(2y－x)＝－x2＋4y2

C．x2－9＝(x＋3)(x－3)

D．(x＋y)2－xy＝x2＋y2

5．(海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是()

A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21

B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)

C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21

D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25

6．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有()

①x2＋6x＋9；②4x2－4x－1；③－x2－y2；④2x2－y2；⑤x2－7；⑥9x2＋6xy＋4y2.A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

7．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为()

A．2ab

B．－2ab

C．4ab

D．－4ab

8．计算(x2－3x＋n)(x2＋mx＋8)的结果中不含x2和x3的项，则m，n的值为()

A．m＝3，n＝1

B．m＝0，n＝0

C．m＝－3，n＝－9

D．m＝－3，n＝8

9．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值()

A．大于0

B．小于0

C．等于0

D．不能确定

10．7张如图①的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终保持不变，则a，b满足()

A．a＝b

B．a＝3b

C．a＝b

D．a＝4b

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．(陕西)因式分解：m(x－y)＋n(y－x)＝______________.12．计算：|－3|＋(π＋1)0－＝________.13．计算82014×(－0.125)2025＝________.14．(连云港)若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2＝________.15．已知x＝y＋4，则代数式x2－2xy＋y2－25的值为________．

16．若6a＝5，6b＝8，则36a－b＝________.17．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：(a－1)(b－2)．现将数对(m，1)放入其中得到数n，再将数对(n，m)放入其中后，则最后得到的数是________．(结果用m表示)

18．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图)，从而可得到因式分解的公式__________________．

三、解答题(共66分)

19．(12分)计算：

(1)5x2y÷(－xy)×(2xy2)2；

(2)9(a－1)2－(3a＋2)(3a－2)；

(3)[(a－2b)

2＋(a－2b)(2b＋a)－2a(2a－b)]÷2a；

(4)[a(a2b2－ab)－b(－a3b－a2)]÷a2b

20．(9分)把下列各式因式分解：

(1)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m);

(2)ax2＋8ax＋16a；

(3)x4－81x2y2.21．(6分)已知xm＝3，xn＝2，求x3m＋2n的值．

22．(9分)已知x(x－1)－(x2－y)＝－6，求－xy的值．

23．(8分)学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？

24．(10分)如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．

25．(12分)观察下列等式：

12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：

①52×________＝________×25；②________×396＝693×________.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明．

检测题参考答案

1．D　2.C　3.C　4.D　5.B　6.A　7.C　8.A　9.B　10.B　11.(x－y)(m－n)12.2　13.－　14.15　15.－9　16.17.2m－m2　18.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

19.(1)原式＝5x2y÷(－xy)×4x2y4＝－(5÷×4)x2－1＋2y1－1＋4＝－60x3y4(2)原式＝9(a2－2a＋1)－(9a2－4)＝9a2－18a＋9－9a2＋4＝－18a＋13(3)原式＝[(a－2b)(a－2b＋2b＋a)－2a(2a－b)]÷2a＝2a(a－2b－2a＋b)÷2a＝－a－b(4)原式＝(a3b2－a2b＋a3b2＋a2b)÷a2b＝2a3b2÷a2b＝2ab

20.(1)原式＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)(2)原式＝a(x2＋8x＋16)＝a(x＋4)2(3)原式＝x2(x2－81y2)＝x2(x＋9y)(x－9y)

21.∵xm＝3，xn＝2，∴原式＝(xm)3·(xn)2＝33·22＝108

22.由x(x－1)－(x2－y)＝－6得x－y＝6，－xy＝＝，把x－y＝6代入得＝18

23.(n＋7)2－(n－3)2＝(n＋7＋n－3)(n＋7－n＋3)＝(2n＋4)×10＝20(n＋2)，∴一定能被20整除

24.绿化面积为：(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－(a2＋2ab＋b2)＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝45＋18＝63.答：绿化面积为(5a2＋3ab)平方米，当a＝3，b＝2时，绿化面积为63平方米

25.(1)275；572；63；36(1)∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，∴一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)，证明：左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，左边＝右边，∴“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)

第9章

分式

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．要使分式有意义，则x的取值范围是()

A．x>2

B．x<2

C．x≠－2

D．x≠2

2．若分式的值为0，则x的值为()

A．2或－1

B．0

C．2

D．－1

3．分式，的最简公分母是()

A．(a2－1)2

B．(a2－1)(a2＋1)

C．a2＋1

D．(a－1)4

4．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是()

A.B.C.D.5．已知分式与另一个分式的商是2x6y，那么另一个分式是()

A．－

B.C.D．－

6．若＝，则x等于()

A．a＋2

B．a－2

C．a＋1

D．a－1

7．已知－＝4，则的值等于()

A．6

B．－6

C.D．－

8．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x(2x－4)；④x＋＝1＋是分式方程．其中正确的个数为()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9．关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是()

A．a＝5或a＝0

B．a≠0

C．a≠5

D．a≠5且a≠0

10．九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是()

A.＝－

B.＝－20

C.＝＋

D.＝＋20

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．化简÷的结果是________．

12．已知x2－4x＋4与|y－1|互为相反数，则式子÷(x＋y)的值等于________．

13．如果方程＋3＝有增根，那么a＝________．

14．有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点：甲说：分式的值不可能为0；乙说分式有意义时，x的取值范围是x≠±1；丙说：当x＝－2时，分式的值为1.请你写出满足上述三个特点的一个分式：________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．计算：

(1)·÷；

(2)＋＋.16．化简：

(1)－÷；

(2)÷.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．解方程：

(1)1＋＝；

(2)1－＝.18．先化简，再求值：1－÷，其中x，y满足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．观察下列等式：

①1－＝12×；

②2－＝22×；

③3－＝32×；

……

(1)请写出第4个等式：________________；

(2)观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．

20．已知A＝－.(1)化简A；

(2)当x满足不等式组且x为整数时，求A的值．

六、(本题满分12分)

21．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km.一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少．

七、(本题满分12分)

22．抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则延期3小时才能完成．现甲、乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时．

八、(本题满分14分)

23．阅读下列材料：

通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：＝＝2＋＝2.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．

如：＝＝1－；

解决下列问题：

(1)分式是________(填“真分式”或“假分式”)；

(2)将假分式化为带分式；

(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．

参考答案与解析

1．D　2.C　3.A　4.D　5.C　6.D　7.A　8.A　9.D　10.C

11.12.13.1　14.(答案不唯一)

15．解：(1)原式＝··＝.(4分)

(2)原式＝－＋＝＝.(8分)

16．解：(1)原式＝－·＝－＝.(4分)

(2)原式＝·＝－·＝－.(8分)

17．解：(1)去分母，得x－2＋3x＝6，移项、合并同类项，得4x＝8，x系数化成1，得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0.所以x＝2不是原方程的根，原方程无解．(4分)

(2)去分母，得2x＋2－(x－3)＝6x，去括号，得2x＋2－x＋3＝6x，移项、合并同类项，得5x＝5，x系数化成1，得x＝1.检验：当x＝1时，2x＋2≠0，所以原方程的根是x＝1.(8分)

18．解：原式＝1－·＝1－＝＝－.(4分)因为|x－2|＋(2x－y－3)2＝0，所以解得当x＝2，y＝1时，原式＝－＝－.(8分)

19．解：(1)4－＝42×(3分)

(2)猜想：n－＝n2×(其中n为正整数)．(7分)验证：n－＝＝，所以左式＝右式，所以猜想成立．(10分)

20．解：(1)A＝－＝－＝－＝.(5分)

(2)解不等式组得1≤x<3.因为x为整数，所以x＝1或x＝2.当x＝1时，A＝无意义；当x＝2时，A＝＝＝1.(10分)

21．解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的平均速度为(x＋54)km/h，由题意得＝，解得x＝90.(8分)经检验，x＝90是这个分式方程的解．x＋54＝144.(11分)

答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的平均速度为144km/h.(12分)

22．解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得＋＝1，解得x＝6.(8分)经检验，x＝6是方程的解．所以x＋3＝9.(11分)

答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．(12分)

23．解：(1)真分式(2分)

(2)＝＝x－＝x－＝x－2＋.(8分)

(3)＝＝2－，由x为整数，分式的值为整数，得到x＋1＝－1，－3，1，3，解得x＝－2，－4，0，2，则所有符合条件的x值为0，－2，2，－4.(14分)

数学：相交线与平行线综合检测题（七年级下）

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1、下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的个数为（）．

Ａ．4

Ｂ．3

Ｃ．2

Ｄ．1

在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）。

A、相交或平行

B、相交或垂直

C、平行或垂直

D、不能确定

2、如图1，下列说法错误的是（）。

A、∠A与∠C是同旁内角

B、∠1与∠3是同位角

C、∠2与∠3是内错角

D、∠3与∠B是同旁内角

3、三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（）。

A、3对

B、4对

C、5对

D、6对

4、如图2，∠1＝20°，AO⊥CO，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）。

A、70°

B、20°

C、110°

D、160°

5、在5×5方格纸中将图3-（1）中的图形N平移后的位置如图3-（2）所示，那么下面平移中正确的是（）。

A.先向下移动1格，再向左移动1格;

B.先向下移动1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格;

D.先向下移动2格，再向左移动2格

6、两条直线被第三条直线所截，那么内错角之间的大小关系是（）.（A）相等

（B）互补

（C）不相等

（D）无法确定

7、如图4，AB∥DE，∠1＝∠2，则AE与DC的位置关系是（）。

A、相交

B、平行

C、垂直

D、不能确定

8、如图5，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角有（）。

A、2个

B、4个

C、5个

D、6个

9、如图6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（）。

A、30

B、36

C、42

D、1810、如图7，(2025呼和浩特)如图，∥DE，∠E=65

º，则∠B+∠C=（）

A．

135º

B．115º

C．

36º

D．65º

二、填空题：（每小题3分，共24分）

11．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有______种．

12．如图8，已知AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，∠1=70°，则∠2的度数为______．

13．如图9，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于______，∠3的内错角等于______，∠3的同旁内角等于______．

14．如图10，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60

cm，AB=100

cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行.若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72

cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是______．

15．如图11，线段CD是线段AB经过向右平移______格，并向下平移______格得到的线段．

16．如图12，AB∥CD，AD，BC相交于点O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是______．

17．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角的度数为______．

18．对于同一平面内的三条直线、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________________.三、解答题：（共66分）

19、(本题10分)如图13，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？

20、(本题10分)如图14，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′。如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？

21、(本题10分)如图15，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形，你能给出两种作法吗？请表述出来。

22、图16

(本题10分)如图16，AB∥CD，需增加什么条件才能使∠1=∠2成立？（至少举出两种）

23、(本题12分)如图17，三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB，试问∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立吗？若成立，试写出推理过程；若不成立，请说明理由。OD平分∠COB。

（1）求∠DOC的度数；

（2）判断AB与OC的位置关系。

四、拓广探索

24、(本题14分)如图18，（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，求∠2和∠4的度数；

（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；

（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小。

相交线与平行线综合检测题C

参考答案与提示

一、1、Ｃ；

2、B；

3、D；

4、C；

5、C；

6、D；

7、C；

8、B；

9、A；

10、D。

二、11．两　　12．　　13．，14．9　　15．，16．

17．，或，18．答案不唯一，合理、正确即可；

三、19、可以判断EF∥BD。

因为∠AED＝60°，EF平分∠AED，所以∠1＝30°，又知∠2＝30°，所以∠1＝∠2。利用内错角相等两直线平行得出EF∥BD。

20、在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通。因为A、B两地公路走向要形成一条直线，构成一个平角。

21、给出以下两种作法：

（1）依据平移后的的图形与原来的图形的对应线段平行，那么应有ED∥AC，FD∥BC。

（2）还可根据平移后对应点所连接的线段平行且相等，那么连接AE，作CD∥AE，且CD=AE。

22、条件1：；条件2：，分别是和的平分线．

23、成立。因为DE∥AC，所以∠C＝∠EDB，∠EDF＝∠DFC；又因为DF∥AB，所以∠B＝∠FDC，∠A＝∠DFC＝∠EDF；即∠A＋∠B＋∠C＝∠EDF＋∠FDC＋∠EDB，而∠EDF＋∠FDC＋∠EDB＝180°，故∠A＋∠B＋∠C＝180°。

24、（1）∠2＝115°，∠4＝∠3＝65°；

（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等或互补；

（3）根据（2），设其中一个角为x，则另一个角为2x，x＋2x＝180°，x＝60°，故这两个角的大小为60°，120。

相交线、平行线复习测试题参考答案

（本卷共150分，120分钟完成）

一、填空题（每小题2分，共30分）

1、一个角的余角是30º，则这个角的补角是

120°

.2、一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是

100°

.3、如图①，如果∠

=

∠

B，那么根据

同位角相等，两直线平行

可得AD∥BC（写出一个正确的就可以）.4、如图②，∠1

=

82º，∠2

=

98º，∠3

=

80º，则∠4

=

80°

度.5、如图③，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD

=

28º，则∠BOE

=

62°

度，∠AOG

=

59°

度.6、时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是

75°

.7、如图④，AB∥CD，∠BAE

=

120º，∠DCE

=

30º，则∠AEC

=

90°

度.8、把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB′=

70º，则∠OGC

=

125°

.9、如图⑥中∠DAB和∠B是直线DE和BC被直线

AB

所截而成的，称它们为

内错

角.10、如图⑦，正方形ABCD中，M在DC上，且BM

=

10，N是AC上一动点，则DN

+

MN的最小值为

.l

DA

AA

CA

BA

OA11、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；

②AC⊥BD；③OA=OC；④AB⊥BC。

其中正确的结论有

①②③

(填序号).12、经过平移，对应点所连的线段_平行且_相等_，对应线段_平行_且_相等_，对应角___相等__。

13、如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为

20πcm。

．

．

．

．

．

C

．

A

B

E

F

G14、经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形．

15、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为__直角_三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG

=___6cm

_。

二、选择题（每小题2分，共40分）

1、下列正确说法的个数是（B）

①同位角相等

②对顶角相等

③等角的补角相等

④两直线平行，同旁内角相等

A

.1，B.2，C.3，D.42、如图⑧，在△ABC中，AB

=

AC，∠A

=

36º，BD

平分∠ABC，DE∥BC，那么图中的等腰三角形的个数是（C）个。

A.3，B.4，C.5，D.63、下列图中∠1和∠2是同位角的是（D）

A.⑴、⑵、⑶，B.⑵、⑶、⑷，C.⑶、⑷、⑸，D.⑴、⑵、⑸

4、下列说法正确的是（D）

A.两点之间，直线最短；

B.过一点有一条直线平行于已知直线；

C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；

D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.5、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（A）

A.45º，B.60º，C.75º，D.80º

6、如图⑨，DH∥EG∥EF，且DC∥EF，那么图

中和∠1相等的角的个数是（C）

A.2，B.4，C.5，D.67、在下面五幅图案中，(2)、(3)、(4)、(5)中哪一幅图案可以通过平移图案(1)得到.（B）

A.(2)

B.(3)

C.(4)

D.(5)

A

B

C

D8、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（C）

9、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（D）

A．直角三角形

B．钝角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

10、如图是一跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有旗子。我们约定跳棋游戏的规则是：

把跳棋旗子在棋盘内沿直线隔着旗子对称跳行，跳行

一次称为一步。已知点A为已方一枚旗子，欲将旗子

A跳进对方区域(阴影部分的格点)，则跳行的最少步数为（B）

A.2步

B.3步

C.4步

D.5步

(第14题图)

11、在以下现象中，①

温度计中，液柱的上升或下降；　　②

打气筒打气时，活塞的运动；

③

钟摆的摆动；　　④

传送带上，瓶装饮料的移动

属于平移的是（D）

（A）①，②

（B）①，③

（C）②，③

（D）②，④

12、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（B)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

13、下列语句中，是对顶角的语句为（D)

A.有公共顶点并且相等的两个角

B.两条直线相交，有公共顶点的两个角

C.顶点相对的两个角

D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角

14、如图，下列说法错误的是（B)

A.∠1和∠3是同位角

B.∠1和∠5是同位角

C.∠1和∠2是同旁内角

D.∠5和∠6是内错角

15、如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（A)

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

16、如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC=32°，那么∠AOD等于（A)

A.148°

B.132°

C.128°

D.90°

17、如图，已知∠1=∠B，∠2=∠C，则下列结论不成立的是（B)

A.AD∥BC

B.∠B=∠C

C.∠2+∠B=180°

D.AB∥CD18、下列命题正确的是（D)

A.内错角相等

B.相等的角是对顶角

C.三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角

D.同位角相等，两直线平行

19、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线（C)

A.互相重合B.互相平行

C.互相垂直

D.无法确定

20、如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于（A)

A.40°

B.45°

C.55°

D.65°

三、解答题（每小题10分，共80分）

1、按要求作图（每小题5分，共20分）

⑴

已知点P、Q分别在∠AOB的边OA，OB上（如图）.┓

①

作直线PQ，②

过点P作OB的垂线，③

过点Q作OA的平行线.（不写作法，但要保留作图痕迹）

⑵

A、B两村位于一条河的两岸,假定河的两岸笔直且平行,如图,现要在河上垂直于河岸建一座桥.问:应把桥建在什么位置,才能使A村

经过这座桥到B村的路程最短?请画出草图,并简要说明作法及理由.解:

画出草图如图所示

.作法:

(1)过点B作岸边的垂线,在垂线上截取

BA′,使BA′与河宽相等.

(2)连结AA′交岸边b于M.

(3)过M作MN∥A′B交岸边a于N.

(4)连结BN.

则桥应建在MN的位置上,才能使A村经过这座村到B村的路程最短.其理由如下:

A村到B村的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+A′M=AA′+MN.

由两点之间,线段最短可知AA′最短,MN长度不变.所以桥建在MN位置上,A村到B村的路程最短.提示:

因要建的桥有一定的长度,我们可先把桥平移到点A或点B处,然后就把这道题中的河的两岸缩为一条直线,如本题的作法,把桥平移到BA′处,把河两岸缩为直线b,根据两点之间线段最短,连结AA′交直线b于M,而后再把桥移回,得到了本题的结论.⑶、如图，ABCD是一块釉面砖，居室装修时

需要一块梯形APCD的釉面砖，且使∠APC＝120º.请在长方形AB边上找一点P，使

∠APC＝120º.然后把多余部分割下来，试着叙述怎样选取P点及其选取P点的理由.解：作法：

以C为顶点，CD为一边，在∠DCB内画∠DCP＝60°，交AB于P，则P点为所选取的点.证明：∵ABCD是长方形（已知）

∴

AB∥CD（长方形的对边平行）

∴∠DCP

+

∠PAC

＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

P

∵∠DCP＝60°（所作）

∴∠PAC

＝180°-∠DCP

＝180°-60°

＝120º

⑷、将字母A按箭头所指的方向,平移3㎝,作出平移后的图形.解：作法：

A′

D′

E′

C′

B′

F

如图所示

①在AF截取

AA′＝3㎝

②分别过B、C、D、E各点作BB′∥AF、CC′∥AF、DD′∥AF、EE′∥AF

③在BB′、CC′、DD′、EE′依次截取BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝3㎝

④分别连接A′D′、A′E′、B′C′

则该图即为所求作的图形。

2、根据题意填空（每小题5分，共10分）

⑴

如图，已知直线EF与AB、CD都相交，AB∥CD，求证：∠1=∠2.证明：∵EF与AB相交（已知)

∴∠1=∠3

（对顶角相等)

∵AB∥CD

（已知)

∴∠2=∠3

（两直线平行，同位角相等)

∴∠1=∠2

（等量代换)

⑵

已知，如图，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求证：AB∥CD.证明：∵AD∥BC(已知)

∴∠1=（∠2)

（两直线平行，内错角相等)

又∵∠BAD=∠BCD

（已知)

∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2（等式性质)

即：∠3=∠4

∴

AB∥CD

（内错角相等，两直线平行)

3、计算（每小题5分，共10分）

⑴

如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b,若∠1=118°求∠2为多少度?

解：∵

∠1+∠3=180°(平角的定义)

又

∵∠1=118°(已知)

∴∠3=

180°－∠1

=

180°－118°=

62°

∵a∥b

(已知)

∴∠2=∠3=62°（两直线平行，内错角相等)

答：∠2为62°

⑵

已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求

这个角的度数等于多少度？

解：设这个角的余角为x，那么这个角的度数为(90°－x)，这个角的补角为(90°+x),这个角的余角的补角为(180°－x)

依题意，列方程为：

180°－x=(x+90°)+90°

解之得：x=30°

这时，90°－x=90°－30°=60°.答：所求这个的角的度数为60°.另解：设这个角为x，则：

180°－（90°－x）－(180°－x)

=

90°

解之得：

x=60°

答：所求这个的角的度数为60°.4、猜想说理（每小题5分，共30分）

⑴、已知:如图,DA⊥AB,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°.试猜想BC与AB有怎样的位置关系，并说明其理由

解:

BC与AB位置关系是BC⊥AB

。其理由如下：

∵

DE平分∠ADC,CE平分∠DCB

(已知),

∴∠ADC=2∠1,∠DCB=2∠2

(角平分线定义).∵∠1+∠2=90°(已知)

∴∠ADC+∠DCB

=

2∠1+2∠2

=

2(∠1+∠2)=2×90°

＝

180°.∴

AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).

∴

∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵

DA⊥AB

(已知)

∴

∠A=90°(垂直定义).

∴∠B=180°-∠A

=

180°-90°＝90°

∴BC⊥AB

(垂直定义).

提示:①垂直定义既可以作为垂直的性质,也可以作为垂直的判定.

②利用角平分线定义时根据实际情况来选择倍分关系.

③正确运用平行线的性质和识别方法.⑵、已知:如图所示,CD∥EF,∠1=∠2,.试猜想∠3与∠ACB有怎样的大小关系，并说明其理由

解:

∠3与∠ACB的大小关系是∠3＝∠ACB，其理由如下：

∵

CD∥EF

(已知),∴∠2=∠DCB(两直线直行,同位角相等).又∵∠1=∠2

(已知),∴

∠1=∠DCB

(等量代换).∴

GD∥CB

（内错角相等,两直线平行).∴

∠3=∠ACB

（两直线平行,同位角相等).思维入门指导:

欲要∠3=∠ACB,必须GD∥BC.由平行线判定只需要∠1=∠DCB,因为∠1=∠2,所以只要∠2=∠DCB,由平行线性质,只需满足CD∥EF即可,而CD∥EF是已知条件,从而得解.⑶

已知(如图)AE⊥BC于E,∠1=∠2,试说明DC⊥BC的理由?

解：

∵AE⊥BC,∴∠AEC=900,∵∠1=∠2

∴AE∥DC∴∠DCB=1800-∠AEC

＝1800-900

=900,∴BC⊥DC.⑷

如图,已知∠1+∠2+180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系,并对结论

进行说明.解：∠ACB与∠DEB的大小关系是∠ACB=∠DEB.其理由如下：

∵∠1+∠2=1800，∠BDC+∠2=1800，∴∠1=∠BDC∴BD∥EF∴∠DEF=∠BDE

∵∠DEF=∠A∴∠BDE=∠A∴DE∥AC

∴∠ACB=∠DEB。

⑸

如图,∠1=∠2,∠D=∠A,那么∠B=∠C吗?

为什么?

解：∵∠1=∠2

∴AE∥DF

∴∠AEC=∠D

∵∠A=∠D

∴∠AEC=∠A

∴AB∥CD

∴∠B=∠C.⑹

如图所示,A,O,B在一条直线上,OE平分∠COB,OD⊥OE于O,试说明OD

平分∠AOC.解:

∵DO⊥OE,∴∠2+∠3=90°,又∵A,O,B在一条直线上,∴∠AOB=180°,∴∠4+∠1=90°.又∵OE平分∠BOC,∴∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴OD平分∠AOC.