1.3　直线的方程

第1课时　直线方程的点斜式、斜截式

1.方程y-y0=k(x-x0)()

A.可以表示任何直线

B.不能表示过原点的直线

C.不能表示与y轴垂直的直线

D.不能表示与x轴垂直的直线

2.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为()

A.A⊆B

B.B⫋A

C.B=A

D.A⫋B

3.直线y-4=-3(x+3)的倾斜角和所经过的一个点分别是()

A.30°,(-3,4)

B.120°,(-3,4)

C.150°,(3,-4)

D.120°,(3,-4)

4.已知直线的方程是y+7=-x-3,则()

A.直线经过点(-3,7),斜率为-1

B.直线经过点(7,-1),斜率为-1

C.直线经过点(-3,-7),斜率为-1

D.直线经过点(-7,-3),斜率为1

5.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=.6.将直线y=3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线斜截式方程是.7.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为.8.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线,并写出倾斜角α:

(1)P(1,2),k=1;

(2)P(-1,3),k=0;

(3)P(0,-2),k=-33;

(4)P(1,2),斜率不存在.能力达标

9.直线y=ax-1a的图象可能是()

10.已知直线l的方程为y+1=2x+52,若设l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则logab的值为()

A.12

B.2

C.log26

D.0

11.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()

A.y-1=3(x-3)

B.y-1=-3(x-3)

C.y-3=3(x-1)

D.y-3=-3(x-1)

12.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()

13.(多选题)下列四个结论,其中正确的为()

A.方程k=y-2x+1与方程y-2=k(x+1)可表示同一条直线

B.直线l过点P(x1,y1),倾斜角为π2,则其方程为x=x1

C.直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1

D.所有直线都有点斜式和斜截式方程

14.直线y+2=-3(x+1)的倾斜角为　　　　,其在y轴上的截距为.15.在x轴上的截距为-2,倾斜角的正弦值为1213的直线的方程为.16.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),顶点C在x轴上.(1)求点C的坐标;

(2)求△ABC的斜边上的中线的方程.17.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(单位:分)与水量y(单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.1.方程y-y0=k(x-x0)()

A.可以表示任何直线

B.不能表示过原点的直线

C.不能表示与y轴垂直的直线

D.不能表示与x轴垂直的直线

答案D

解析因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,所以y-y0=k(x-x0)不能表示与x轴垂直的直线,故选D.2.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为()

A.A⊆B

B.B⫋A

C.B=A

D.A⫋B

答案B

3.直线y-4=-3(x+3)的倾斜角和所经过的一个点分别是()

A.30°,(-3,4)

B.120°,(-3,4)

C.150°,(3,-4)

D.120°,(3,-4)

答案B

解析斜率k=-3,过定点(-3,4).4.已知直线的方程是y+7=-x-3,则()

A.直线经过点(-3,7),斜率为-1

B.直线经过点(7,-1),斜率为-1

C.直线经过点(-3,-7),斜率为-1

D.直线经过点(-7,-3),斜率为1

答案C

5.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=.答案4

解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),得2(a-3)=7-5,解得a=4.6.将直线y=3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线斜截式方程是.答案y=-3x+23

解析∵直线y=3(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-3,且过点(2,0).∴其方程为y-0=-3(x-2),即y=-3x+23.7.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为.答案x=3

解析∵直线y=x+1的倾斜角是45°,直线l的倾斜角是直线y=x+1的两倍,∴直线l的倾斜角是90°,∵直线l过点P(3,3),∴直线l的方程是x=3,故答案为x=3.8.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线,并写出倾斜角α:

(1)P(1,2),k=1;

(2)P(-1,3),k=0;

(3)P(0,-2),k=-33;

(4)P(1,2),斜率不存在.解(1)倾斜角为45°;

(2)倾斜角为0;

(3)倾斜角为150°;

(4)倾斜角为90°.能力达标

9.直线y=ax-1a的图象可能是()

答案B

解析显然不可能是C.当a>0时,直线的斜率为正,纵截距为负,排除A;当a<0时,斜率为负,纵截距为正,D不符合,只有B符合题意.故选B.10.已知直线l的方程为y+1=2x+52,若设l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则logab的值为()

A.12

B.2

C.log26

D.0

答案B

解析∵直线l的方程为y+1=2x+52,∴直线l的斜率为2,在y轴上的截距为4,即a=2,b=4,∴logab=log24=2,故选B.11.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()

A.y-1=3(x-3)

B.y-1=-3(x-3)

C.y-3=3(x-1)

D.y-3=-3(x-1)

答案D

解析由对称性可得B(2,0),∴kAB=31-2=-3,∴直线AB的方程为y-3=-3(x-1).12.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()

答案D

解析对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D.13.(多选题)下列四个结论,其中正确的为()

A.方程k=y-2x+1与方程y-2=k(x+1)可表示同一条直线

B.直线l过点P(x1,y1),倾斜角为π2,则其方程为x=x1

C.直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1

D.所有直线都有点斜式和斜截式方程

答案BC

解析对于A,方程k=y-2x+1,表示的直线不过点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线过点(-1,2),故这两个方程表示不同的直线,A错误;对于B,直线l过点P(x1,y1),倾斜角为π2,则其斜率不存在,直线垂直于x轴,B正确;

对于C,因为斜率为0,故方程为y=y1,显然正确;对于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程,是不对的,比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程.故D错误.BC正确,故选BC.14.直线y+2=-3(x+1)的倾斜角为　　　　,其在y轴上的截距为.答案120°-2-3

解析∵直线y+2=-3(x+1)的斜截式方程为y=-3x-2-3,∴直线的斜率为-3,倾斜角为120°,在y轴上的截距为-2-3.15.在x轴上的截距为-2,倾斜角的正弦值为1213的直线的方程为.答案y=±125(x+2)

解析设直线的倾斜角为θ,则sin

θ=1213,因为θ∈[0,π),所以tan

θ=±125,故k=±125,所求的直线方程为y=±125(x+2).16.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),顶点C在x轴上.(1)求点C的坐标;

(2)求△ABC的斜边上的中线的方程.解(1)由顶点C在x轴上,设C(m,0),∵Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),∴AB=(4,-2),BC=(m-1,2).由AB·BC=0,得4(m-1)-2×2=0,解得m=2,故C(2,0).(2)斜边AC的中点为M-12,0,BM的斜率为-2-01-(-12)=-43,故BM的方程为y-0=-43x+12,即y=-43x-23.17.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(单位:分)与水量y(单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.解当040时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0≤x≤10时,是只进水过程,所以v1=2,当1040时,k=-53,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y=2x,0≤x≤10,13x+503,10