第13讲

常见全等辅助线

中考说明

内容

A

B

C

全等三角形

了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系

掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题

会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题

知识网络图

前章回顾

1．全等三角形有什么性质？

2．全等三角形有几种判定方法？

13.1倍长中线类全等

概念辨析

一．

见中点-------倍长中线（倍长类中线）

解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成8字全等．

例题精讲

【例1】

已知：中，是中线．求证：．

【讨论一下】在△中，则边上的中线的长的取值范围是什么

【例2】

如图，已知中，平分．是的中点，交于，交延长线于，．求证：．

【讨论一下】如图，已知中，．是的中点，交于，交

延长线于，．求证：平分．

【例3】

已知为的中线，的平分线分别交于、交于．求证：．

【讨论一下】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．

【例4】

如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：．

【讨论一下】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长于，与相等吗？为什么？

【例5】

如图，为线段的中点，在上取异于的点，分别以、为斜边在同侧作等腰直角三角形与，连结、、，求证：为等腰直角三角形．

【例6】

（2024年怀柔）已知：如图1，在中，为中点，为上一点，为上一点，联结．

求证：线段、、总能构成一个直角三角形；

【讨论一下】如图2，为中点，为上一点，为上一点，联结，请你找出一个条件，使线段、、能构成一个等边三角形，给出证明．

【例7】

如图1，矩形中，为的中点，连结．请你判断并写出是的几倍；

【例8】

已知分别是及延长线上的一点，且，连接交底于，求证．

【讨论一下】如图2，在平行四边形中，为的中点，连结、，请问：与是否也具有上题中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由．

13.2截长补短类全等

概念辨析

一.见线段间数量关系---------截长补短或旋转

解读：只要出现类似的线段关系，就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种；出现类似的线段关系时，截长补短就不行了，就得采取旋转的方法来做辅助线．

例题精讲

【例9】

（四中期中）如图，和的平分线相交于，过的直线分别交、于、两点．求证：．

【讨论一下】如图所示，在中，，求证：．

【例10】

（2024年崇文一模）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

如图，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是_______________；此时______________；写出结论并证明．

【讨论一下】如图所示，点、边、上，且当时，上题的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

13.3旋转类全等

概念辨析

一.旋转类全等模型：共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型

证明全等的基本思想“”

例题精讲

【例1】

（1）如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结．求的大小．

（2）如图2，固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点逆时针旋转，求的大小．

【讨论一下】以的两边为边向外作正方形，求证：，且．

【例11】

如图，已知，，点为等腰直角内一点，为延长线上的一点，且．

（1）求证：平分；

（2）若点在上，且，求证：．

【讨论一下】如图1，，．绕着边的中点旋转，分别交线段于点，．

观察：①如图2、图3，当或时，_______（填“”，“”或“”）．

②如图4，当时，_______（填“”，“”或“”）．

（2）猜想：如图1，当时，_______，证明你所得到的结论．

基础演练

【练1】

已知，是的中线，求证：

【练2】

已知中，为的延长线，且，为的边上的中线．

求证：

【练3】

如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．

求证：∥

【练4】

如图所示，在中，，求证：．

【练5】

如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．

【练6】

已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．

【练7】

如图，已知中，，平分，求证：.【练8】

如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，且．求证：．

【练9】

如图，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．

能力提升

【练10】

已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．

【练11】

已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．

【练12】

如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数．

【练13】

如图，正方形中，．求证：．

巅峰突破

【练14】

（师大附中期中）

已知：等边三角形

（1）如图1，为等边外一点，且．试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，为等边内一点，且．求证：．

【练15】

在中，，是的角平分线，于点．

（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；

（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；

（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．

小结与复习

1．倍长中线运用了那个最常见的全等模型？

2．见到线段数量关系时，最常见的辅助线方法是？